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明史  卷三十三‧志第九  曆三

大統曆法一下(法原)

日月五星平定三差

太陽盈縮平立定三差之原。

冬至前後盈初縮末限,八十八日九十一刻,(就整。)離為六段,每段各得一十四日八十二刻。(就整。)各段實測日躔度數,與平行相較,以為積差。

積日第一段 一十四日八二第二段 二十九日六四第三段 四十四日四六第四段 五十九日二八第五段 七十四日一○第六段 八十八日九二

積差第一段 七千零五十八分○二五第二段 一萬二千九百七十六三九二第三段 一萬七千六百九十三七四六二第四段 二萬一千一百四十八七三二八第五段 二萬三千二百七十九九九七第六段 二萬四千○二十六一八四

各置其段積差,以其段積日除之,為各段日平差。置各段日平差,與後段日平差相減,為一差。置一差,與後段一差相減,為二差。

日平差第一段 四百七十六分二五第二段 四百三十七分八○第三段 三百九十七分九七第四段 三百五十六分七六第五段 三百一十四分一七第六段 二百七十○分二○

一差第一段 三十八分四五第二段 三十九分八三第三段 四十一分二一第四段 四十一分五九第五段 四十三分九七

二差第一段 一分三八第二段 一分三八第三段 一分三八第四段 一分三八

置第一段日平差,四百七十六分二十五秒,為凡平積。以第二段二差一分三十八秒,去減第一段一差十八分四十五秒,餘三十七分零七秒,不凡平積差。另置第一段二差一分三十八秒,折半得六十九秒,為凡立積差。以凡平積差三十七分零七秒,加入凡平積四百七十六分二十五秒,共得五百一十三分三十二秒,為定差。

以凡立積差六十九秒,去減凡平積差三十七分零七秒,餘三十六分三十八秒為實,以段日一十四日八十二刻為法除之,得二分四十六秒為平差。置凡立積差六十九秒為實,以段日為法除二次,得三十一微,為立差。

夏至前後縮初盈末限,九十三日七十一刻,就整。離為六段,每段各得一十五日六十二刻。就整。各段實測日躔度數,與平行相較,以為積差。

積日第一段 一十五日六二第二段 三十一日二四第三段 四十六日八六第四段 六十二日四八第五段 七十八日一零第六段 九十三日七二

積差第一段 七千○五十八分九九○四第二段 一萬二千九百七十八六五八第三段 一萬七千六百九十六六七九第四段 二萬萬一千一百五十○七二九六第五段 二萬三千二百七十八四八六第六段 二萬四千○百一十七六二四四

推日平差、一差、二差術,與盈初縮末同。

日平差第一段 四百五十一分九二第二段 四百一十五分四五第三段 三百七十七分六五第四段 三百三十八分五二第五段 二百九十八分零六第六段 二百五十六分二七

一差第一段 三十六分四七第二段 三十七分八○第三段 三十九分一二第四段 四十零分四六第五段 四十一分七九

二差第一段 一分三三第二段 一分三三第三段 一分三三第四段 一分三三

置第一段日平差,四百五十一分九十二秒,為汎平積。以第一段二差一分三十三秒,去減第一段一差三十六分四十七秒,餘三十一分一十四秒,為汎平積差。另置第一段二差一分三十三秒折半,得六十六秒五十微,為汎立積差。以汎平積差三十五分一十四秒,加入汎平積四百五十一分九十二秒,共四百八十七分零六秒,為定差。以汎立積差六十六秒五十微,去減汎平差三十五分一十四秒,餘三十四分四十七秒五十微為實,以段日一十五日六二為法除之,得二分二十一秒,為平差。置汎立積差六十六秒五十微為實,以段日為法,除二次,得二十七微,為立差。

凡求盈縮,以入曆初末日乘立差,得數以加平差,再以初末日乘之,得數以減定差,餘數以初末日乘之,為盈縮積。

凡盈曆以八十日九零九二二五為限,縮曆以九十三日七一二零二五為限。在其限已下為初,以上轉減半歲周餘不末。盈初是人冬至後順推,縮末是從冬至前逆溯,其距冬至同,故其盈積同。縮初是從夏至後順推,盈末是從夏至前逆溯,其距夏至同,故其縮積同。

盈縮招差圖(圖闕)

盈縮招差圖說盈縮招差,本為一象限之法。(如盈曆則以八十八日九十一刻為象限,縮曆則以九十三日七十一刻為象限。)今止作九限者,舉此為例也。其空格九行定差本數,為實也。其斜線以上平差立差之數,為法也。斜綿以下空格之定差,乃餘實也。假如定差為一萬,平差為一百,立差為單一。今求九限法,以九限乘定差得九萬為實。另置平差,以九限乘二次,得八千一百。置立差,以九限乘三次,得七百二十九。并兩數得八百二十九為法。以法減實,餘八萬一千一百七十一,為九限積。又法,以九限乘平差行九百,又以九限乘立差二次得八十一,并兩數得九進八十一為法,定差一萬為實,以法減實,餘矣千零一十九,卽九限末位所書之定差也。於是瑞以九限乘餘實,得八萬一千一百七十一,為九限積,與前所不所得不同。蓋前法是先乘後減,又法是先減後乘,其理一也。

按授時曆於七政盈縮,竝以垛積招差立算,其法七巧合天行,與西人用小輪推步之法,殊途同歸。然世所傳九章諸書,不載其術,曆草載其術,而不言其故。宣城梅文鼎為之圖解,於平差、立差之理,垛積之法,皆有以發明其所以然。有專書行於世,不能備錄,謹錄招生圖說,以明立法之大意云。

凡布立成

盈初縮末 置立差三十一微,以六因之,得一秒八十六微,為加分立差。置平差二分四十六秒,倍之,得四分九十二秒,加入加分立差,得四分九十二秒八十六微,為平立合差。置定差五百一十三分三十二秒,內減平差二分四十六秒,再減立差三十一微,餘五百一十零分八十五秒六十九微,為加分。

縮初盈末 置立差二十七微,以六因之,得一秒六十二微,為加分立差。置平差二分二十一秒,倍之,得四分四十二秒,加入加分立差,得四分四十三秒六十二微,為平立合差。置定差四百八十七分零六秒,內減平差二分二十一秒,再減立差二十七微,餘四百八十四分八十四秒七十三微,為加分。

已上所推,皆初日之數。其推次日,皆以加分立差,累加平立合差,為次日平立合差。以平立合差減其日加分,為次日加分,盈縮竝同。其加分累積之,卽盈縮積,其數竝見立成。

太陰遲疾平立三差之原

太陰轉周二十七日五十五刻四六。測分四象,象各七段,四象二十八段,每段十二限,每象八十四限,汎三百三十六限,而四象一周。以四象為法,除轉周日,得每象六日八八八六五,分為七段,每段下實測月行遲疾之數,與平行相較,以求積差。

積限第一段 一十二第二段 二十四第三段 三十六第四段 四十八第五段 六十第六段 七十二第七段 八十四

積差第一段 一度二十八分七一二第二段 二度四十五分九六一六第三段 三度四十八分三七九二第四段 四度三十二分五九五二第五段 四度九十五分二四第六段 五度三十二分九四四第七段 五度四十二分三三七六

各置其段積差,以其段積限為法除之,為各段限平差。置各段限平差,與後段相減為一差。置一差,與後段一差相減為二差。

限平差第一段 一十零分七二六零第二段 一十零分二四八四第三段 九分六七七二第四段 九分零一二四第五段 八分二五四零第六段 七分四零二零第七段 六分四五六四

一差第一段 四十七秒七六第二段 五十七秒一二第三段 六十六秒四八第四段 七十五秒八四第五段 八十五秒二零第六段 九十四秒五六

二差第一段 九秒三六第二段 九秒本六第三段 九秒三六第四段 九秒三六第五段 九秒三六

置第一段限平差一十零分七二六為汎平積。置第一段一差四十七秒七六,以第一段二差九秒三六減之,餘三十八秒四十微,為汎平積差。另置第一段二差九秒三十六微折半,得四秒六十八微,為汎立積差。以汎平積差三十八秒四十微,加汎平積一十零分七二六,得一十一分一十一秒,為定差。置汎平積差三十八秒四十微,以汎立積差四秒六十八微減之,餘三十三秒七十二微為實,以十二限為法除之,得二秒八十一微,為平差。置汎立積差四秒六十八微為實,十二限為法,除二次,得三微二十五纖,為立差。

凡求遲疾,皆以入曆日乘十二限二十分,以在八十四限已下為初,已上轉減一百六十八限餘為末。各以初末限乘立差,得數以加平差,再以初末限乘之,得數以減定差,餘以初末限乘之,為遲疾積。其初限是從最遲最疾處順推至後,末限是從最遲最疾處逆溯至前,其距其距最遲疾處同,故其積度同。(太陰與太陽立法同,但太陽以定氣立限,故盈縮異數。太陰以平行立限,故遲疾同原。)

布立成法 置立差三微二十五纖,以六因之,得一十九微五十纖,為損益立差。置平差二秒八十一微,倍之,得五秒六十二微,再加損益立差一十九微五十纖,共得五秒八十一微,為初限平立合差。自此以損益立差,累加之,卽每限平立合差。至八十限下,積至二十一秒四一五,為平立合差之極。八十一限下差一秒七八零九,八十二限下一秒七八零八,至八十三限下,平立合差,與益分中分,為益分之終。八十四限下差,亦與損分中分,為損分之始。至八十六限下差,亦二十一秒四一五,自此以損益立差累減之,卽每限平立合差,至末限與初限同。置定差一十一分一十一秒,內減平差二秒八十一微,再減立差三微二十五纖,餘一十一分零八秒一十五微七十五纖為加分定差,卽初限損益分。置損益分,以其限平立合差益減損加之。卽為次限損益分。以益分積之,損分減之,便為其下遲疾度。以八百二十分為一限日率,累加八百二十分為每限日率。(以上俱詳立成。)

五星平立定三差之原

凡五星各以實測,分其行度為八段,以求積差,畧如日月法。

木星(立差加,平差減。)

積日第一段 一十一日五十刻第二段 二十三日第三段 三十四日五十刻第四段 四十六日第五段 五十七日五十刻第六段 六十九日第七段 八十零日五十刻第八段 九十二日

積差第一段 一度二一五二九七一一二第二段 二度三四○五二一四第三段 三度三五四一三七二六五第四段 四度二三四六○九一二第五段 四度九六○四○一三七五第六段 五度五○九九七八四四第七段 五度八六一八○四七二五第八段 五度九九四三四四六四

汎平差第一段 一十分五六七八○一第二段 一十分一七六一八第三段 九分七二二一三七第四段 九分二○五六七二第五段 八分六二六七八五第六段 七分九八五四七六第七段 七分二八一七四五第八段 六分五一五五九二

汎平較第一段 三十九秒一六二一第二段 四十五秒四○四三第三段 五十一秒六四六五第四段 五十七秒八八八七第五段 六十四秒一三○九第六段 七十○秒三七二一第七段 七十六秒六一五三

汎立較第一段 六秒二四二二第二段 六秒二四二二第三段 六秒二四二二第四段 六秒二四二二第五段 六秒二四二二第六段 六秒二四二二

各置其段所測積差度為實,以段日為法除之,為汎平差。各以汎平差與次段汎平差相較,為汎平較。又以汎平較與次段汎平較相較,為汎立較。置第一段汎平較三十九秒一六二一,減其下汎立較六秒二四二二,餘三十二秒九一九九,為初段平立較。加初段汎平差一十分五六七八零一,共得一十零分八十九秒七十零微,為定差。秒置萬位。置初段平立較差三十二秒九一九九,內減汎立較之半,三秒一二一一,餘二十九秒七九八八,以段日一十一日五十刻除之,得二秒五十九微一十二纖為平差。置汎立差之半,三秒一二一一,以段日為法除二次,得二微三十六纖為立差。

已上為木星平立定三差之原。

火星盈初縮末。(立差減,平差減。)

積日第一段 七日六十二刻五十分第二段 一十五日二十五刻第三段 二十二日八十七刻五十分第四段 三十○日五十○刻第五段 三十八日一十二刻五十分第六段 四十五日七十五刻第七段 五十三日三十七刻五十分第八段 六十一日

積差第一段 六度二六八二五一二二八一八五五九三七五第二段 一十一度六○○一七五七四三五九三七五第三段 一十六度○二五九六三七九二五一九五三一二五第四段 一十九度六六九○一三六二一二五第五段 二十二度二七九八九一四七六○七四二一八七五第六段 二十四度一六八二二八六○三二八一二五第七段 二十五度三三一五五六二四九二六○一五六二五第八段 二十五度六一九五一五六六

汎平差第一段 八十二分○六五七三四八四三七五第二段 七十六分○六六七二六一六七五第三段 七十○分○五八八五八一○九三七五第四段 六十四分一八二九六九二五第五段 五十八分四三九○五九六○九三七五第六段 五十二分八二七一二九一八七五第七段 四十七分三四七一七七九八四三七五第八段 四十一分九九九二○六

汎平較第一段 六分一三九八四七二九六八七五第二段 六分○○七八六八○七八一二五第三段 五分八七五八八八八五九三七五第四段 五分七四三九○九六四○六二五第五段 五分六一一九三○四二一八七五第六段 五分四七九九五一二○三一二五第七段 五分三四七九七一九八四三七五

汎立較第一段 一十三秒一九七九二一八七五第二段 一十三秒一九七九二一八七五第三段 一十三秒一九七九二一八七五第四段 一十三秒一九七九二一八七五第五段 一十三秒一九七九二一八七五第六段 一十三秒一九七九二一八七五

汎平較前多後少,應加汎立較。置初段下汎平較六分一三九八四七二九六八七五,加汎立較一十三秒一九七九二一八七五,得六分二七一八二六五一五六二五,為初日下平立較。置初段汎平差八十二分二十零秒六五七三四八四三七五,加初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五,得八十八分四十七秒八十四微,為定差。置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五,加汎立較之半,六秒五九八九六零九三七五,得分三三七八一六一二五為實,以段日而一,得八十三秒一十一微八十九纖為平差。置汎立較之半,六秒五九八九六零九三七五,以段日七日六十二刻五十分為法除二次,得一十一微三十五纖為立差。

火星縮初盈末(平差負減,立差減。)

積日第一段 一十五日二十五刻第二段 三十○日五十刻第三段 四十五日七十五刻第四段 六十一日第五段 七十六日二十五刻第六段 九十一日五十刻第七段 一百零六日七十五刻第八段 一百二十二日

積差第一段 四度五三一二五一八五七九六八七五第二段 九度一○二九六一四五一二五第三段 一十三度五三一六七○九○一七七三七五第四段 一十七度四七八九七九○四第五段 二十○度八四三六六三○六六四○六二五第六段 二十三度四三一三三六二四一二五第七段 二十五度○九二四三五二八三四六八七五第八段 二十五度六一八三七四七二

汎平差第一段 二十九分七一三一二六九三七五第二段 二十九分八四五七七五二五第三段 二十九分五七八三五五○六二五第四段 二十八分六五四○六四第五段 二十七分三三三九五一五六二五第六段 二十五分六一八○一七七五第七段 二十三分五○六二六二五六二五第八段 二十○分九九八六八六

汎平較第一段 一十三秒二六四八三一二五第二段 二十六秒八四一八○八七五第三段 九十二秒四二九一○六二五第四段 一分三二○一一二四三七五第五段 一分七一五九三三八一二五第六段 二分一一一七五五一八七五第七段 二分五○七五七六二五

汎立較第一段 一十三秒五七六九七七五第二段 六十五秒五八七二九七五第三段 三十九秒五八二一三七五第四段 三十九秒五八二一三七五第五段 三十九秒五八二一三七五第六段 三十九秒五八二一三七五

取汎立較停者,三十九秒五八二一三七五,以較一段下汎平較一十三秒二六四八三一二五,餘二十六秒三一七三零六二五為較較,以加一段下汎平差二十九分七一三一二六九三七五,得二十九分九十七秒六十三微,為定差。置較較二十六秒三一七三零六二五,以段日一十五日二十五刻而一,得一秒七二五七二五。再置汎立較之半一十九秒七九一零六八七五,以段日而一,得一秒二九七七七五。兩數竝得三秒零二微三十五纖為平差。置汎立較之半一十九秒七九一零六八七五,以段日一十五日二五為法除二次,得八微五十一纖,為立差。

已上為火星平立定三差之原。

土星盈曆(立差加,平差減。)

積日第一段 一十一日五十刻第二段 二十三日第三段 三十四日五十刻第四段 四十六日第五段 五十七日五十刻第六段 六十九日第七段 八十○日五十刻第八段 九十二日

積差第一段 一度六八三二四五八二八七五第二段 三度二三二一六四○一第三段 四度六二○九三○○八六二五第四段 五度八二三七一九六第五段 六度八一四七○八六六八七五第六段 七度五六八O七一一一第七段 八度○五七九八四一九一二五第八段 八度二五八六二二八八

汎平差第一段 一十四分六三六九二○二五第二段 一十四分○五二八八七第三段 一十三分三九四○○○二五第四段 一十二分六六○二六第五段 一十一分八五一六六六二五第六段 一十一分九六八二一九第七段 一十○分○○九九一八二五第八段 八分九七六七六四

汎平較第一段 五十八秒四○三三二五第二段 六十五秒八八八六七五第三段 七十三秒三七四○二五第四段 八十○秒八五九三七五第五段 八十八秒三四四七二五第六段 九十五秒八三○○七五第七段 一分○三秒三一五四二五

汎立較第一段 七秒四八五三五第二段 七秒四八五三五第三段 七秒四八五三五第四段 七秒四八五三五第五段 七秒四八五三五第六段 七秒四八五三五

置第一段下汎平較,內減其下汎立較,餘五十零秒九一七九七五,為平立較。以平立較,加本段汎平差,得一十五分一十四秒六十一微,為定差。置平立較,內減汎立較之半,三秒七四二六七五,餘四十七秒一七五三,以段日十一日五十刻而一,得四秒一十零微二十二纖,為平差。置汎立較之半,以段日除二次,得二微八十三纖,為立差。

土星縮曆(立差加,平差減。)

積日第一段 一十一日五十刻第二段 二十三日第三段 三十四日五十刻第四段 四十六日第五段 五十七日五十刻第六段 六十九日第七段 八十○日五十刻第八段 九十二日

積差第一段 一度二四一九七四二六八七五第二段 二度四一三七三五六九第三段 三度四八五○七九六八六二五第四段 四度四二五八○一六八第五段 五度二○五六九七○九三七五第六段 五度七九四五六一三五第七段 六度一六二四一一○○四七五第八段 六度二七八三七八○八

汎平差第一段 一十分七九九七七六二五第二段 一十分四九四五○三第三段 一十分一○一六八○二五第四段 九分六二一三○八第五段 九分○五三三八六二五第六段 八分三九七九一五第七段 七分六五四八九四二五第八段 六分八二四三二四

汎平較第一段 三十○秒五二七三二五第二段 三十九秒二八二二七五第三段 四十八秒○三七二二五第四段 五十六秒七九二一七五第五段 六十五秒五四七一二五第六段 七十四秒三○三○七五第七段 八十三秒○五七○七五

汎立較第一段 八秒七五四九五第二段 八秒七五四九五第三段 八秒七五四九五第四段 八秒七五四九五第五段 八秒七五四九五第六段 八秒七五四九五

置一段汎平較,內減其下汎立較,餘二十一秒七七二三七五,為平立較。以平立較加入本段汎平差,得一十一分零一秒七十五微,為定差。置平立較,內減汎立較之半,四秒三七七四七五,餘一十七秒三九四九,以段日一十一日五十刻為法除之,得一秒五十一微二十六纖,為平差。置汎立較之半,以段日為法除二次,得三微三十一纖為立差。

已上為土星平定三差之原。

金星(立差加,平差減。)

積日第一段 一十一日五十刻第二段 二十三日第三段 三十四日五十刻第四段 四十六日第五段 五十七日五十刻第六段 六十九日第七段 八十○日五十刻第八段 九十二日

積差第一段 空度四○二一三四○九八七五第二段 空度七九一三九三六六第三段 一度一五四九一二○八一二五第四段 一度七四九八二二七六第五段 一度七五三二五九○九三七五第六段 一度九六二三五四四八第七段 二度○九四二四二三一六二五第八段 二度一三六○五六

汎平差第一段 三分四九六八一八二五第二段 三分四四○八四二○○第三段 三分三四七五七一二五第四段 三分二一七○○六第五段 三分○四九一四六二五第六段 二分八四三九九二第七段 二分六零一五四三二五第八段 二分三二一八

汎平較第一段 五秒五九七六二五第二段 九秒三二七○七五第三段 一十三秒○六五五二五第四段 一十六秒七八五九七五第五段 二十○秒五一五四二五第六段 二十四秒二四四八七五第七段 二十七秒九七四三二五

汎立較第一段 三秒七二九四五第二段 三秒七二九四五第三段 三秒七二九四五第四段 三秒七二九四五第五段 三秒七二九四五第六段 三秒七二九四五

置一段下汎平較,與其汎立較相減,餘一秒八六一七五為平立較,以加汎平差,得三分五十一秒五十五微,為定差。置平立較,與汎立較之半,一秒八六四七二五相減,餘三十四纖,以段日一十一日五十刻為法除之,得三纖,為平差。置汎立較之半,以段日為為法除二次,得一微四十一纖,為立差。

已上為金星平立定三差之原。

水星(立差加,平差減。)

積日第一段 一十一日五十刻第二段 二十三日第三段 三十四日五十刻第四段 四十六日第五段 五十七日五十刻第六段 六十九日第七段 八十○日五十刻第八段 九十二日

積差第一段 空度四四○八四七三五三七五第二段 空度八六三一○一六八第三段 一度二五三八九六三七六二五第四段 一度六○○三六四八四第五段 一度八八九六三一○四三七五第六段 二度一○八八六六六第七段 二度二四五二九二一一三七五第八段 二度二八五六四四三二

汎平差第一段 三分八三三四五五二五第二段 三分七五二六一六第三段 三分六三四四八二二五第四段 三分四七九零五四第五段 三分二八六三三一二五第六段 三分零五六三一四第七段 二分七八九零零二二五第八段 二分四八四三九六

汎平較第一段 八秒零八三九二五第二段 一十一秒八一三三七五第三段 一十五秒五四二八二五第四段 一十九秒二七二二七五第五段 二十三秒零零一七二五第六段 二十六秒七三二一七五第七段 三十零秒四六零六二五

汎立較第一段 三秒七二九四五第二段 三秒七二九四五第三段 三秒七二九四五第四段 三秒七二九四五第五段 三秒七二九四五第六段 三秒七二九四五

術同金星,求得定差三分八十七秒九十微,平差二十一微六十五纖,立差一微四十一纖。

已上為水星平立定三差之原。

右五星,皆以立差為秒,平差為本,定差為總。五星各以段次因秒,木土金水四星并本,惟火星較本,各以積日而積,五星皆較總,又各以積日乘之,得各實測之度分。

五星積日,皆本度率,除周日得三百六十五度二十五分太。各以四分之一為象限,惟火星用象限三之一,減象限為盈初縮末限,加象限為縮初盈末限。其命度為日者,為各取盈縮曆乘除之便,其實積日之數,卽積度也。

里差刻漏

求二至差股及出入差。術曰:置所測北極出地四十度九十五分為半弧背,以前割圓弧矢法,推得出地半弧弦三十九度二十六分,為大三斜中股。置測到二至黃赤道內外度二十三度九十分為半弧背,以前法推得內外半弧弦二十三度七十一分。(又為黃赤道大句,又為小三斜弦。)置內外半弧弦自之為句冪,半逕自之為弦冪,二冪相減,開方得股,以股轉減半徑,餘四度八十一分為二至出入矢,卽黃赤道內外矢。夏至日,南至地平七十四度二十六分半為半弧背,求得日下至地半弧弦五十八度四十五分。半徑六十零度八十七分半,為大三斜中弦。置大三斜中股三十九度二十六分,以二至內外半弧弦二十三度七十一分乘之為實,以半徑六十零度八十七分半為法除之,得一十五度二十九分,為小三斜中股。(又為小股。)置小三斜中股一十五度二十九分,去減日下至地半弧弦五十八度中十一分,餘四十三度一十六分,為大股。以出入矢四度八十一分,去減半徑六十零度八十七分半,餘五十六度零六分半,為大股弦。置大股弦,以小股一十五度二九乘之為實,大股四十三度一六為法除之,得一十九度八十七分為小弦,卽為二至出入差半弧弦。置二至出入差半弧弦,依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。置二至出入差半弧背一十九度九十六一四秒,置二至出入半弧背一十九度九六一四,以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分除之,得八十四分一十九秒,為度差分。

求黃道每度書夜刻。術曰:置所求每度黃赤道內外半弧弦,以二至出入差半弧背乘之為實,二至黃赤道內外半弧弦為法除之,為每度出入差半弧背。(又術:置黃赤道內外半弧弦,以度差八十四分一十九秒乘之,亦得出入差半弧背。)置半徑內減黃赤道內外矢,卽赤道二弦差,見前條立成。餘數倍之,又三因之,得數加一度,為日行百刻度。(又術:以黃赤道內外矢倍之,以減全徑餘數,三因加一度,為日行百刻度,亦同。)置每度出入半弧背,以百刻乘之為實,日行百刻為法除之,得數為出入差刻。置二十五刻,以出入差刻視黃道,在赤道內加之,在赤道外減之,得數為半晝刻,倍之為晝刻,以減百刻,為夜刻。

如求冬至後四度晝刻。術曰:置冬至後四十四度黃赤道內外半弧一十七度二十五分六十九秒,(又為黃赤道小弧弦,前立成中取之。)以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乘之為實,以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分為法除之,得一十四度五十二分八十五秒,為出入半弧背。(又法:置黃赤道內外半弧弦一十七度二五六九,以度差零度八四一九乘之,亦得一十四度五二八五,為出入半弧背。)置半徑六十零度八七五,以四十四度黃赤道內外矢二度五十一分八十一秒(又為赤道二弦差,前立成中取之。)減之,餘五十八度三十五分六十九秒,(卽赤道小弦。)倍之,得一百一十六度七十一分三十八秒,三因之,加一度,得三百五十一度一十四分一十四秒,為日行百刻度。(又術:倍黃赤道內外矢得五度零三分六十二秒,以減全徑一百二十一度七十五分,亦得一百一十六度七十一分三十八秒,三因加一度,為日行百刻度,亦同。)置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒,以百刻乘之為實,以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒為法除之,得四刻一十三分七十五秒,為出入差刻。置二十五刻,以出入差刻四刻一十三分七十五秒減之,(因冬至後四十四度,黃道在赤道外,故減。)餘二十零刻八十六分二十五秒,為半晝刻。倍之得四十一刻七十二分半,為晝刻。以晝刻減百刻,餘五十八刻二十七分半,為夜刻。(又術:置出入差刻四刻一十三分七十五秒,倍之,得八刻二十七分半,以減春秋分晝夜五十刻,得四十一刻七十二分半,為晝刻。以倍刻加五十刻,得五十八刻二十七分半,為夜刻。晝減故廢加,餘仿此。)

黃道篛度書夜記得立成

黃道積度 出入半弧背 日行百刻度 出入差刻分 冬至前後晝夏至前後夜 冬至前後夜夏至前後晝
十度十分 十度十分十秒 百十度十分十秒 刻十分十秒 十刻十分十秒 十刻十分十秒
 初 一九九六一四 三三七一六0八 五九二0四 三八一五九二 六一八四0八
 一   九五八七    一六八六  九一九五   一六一0   八三九0
 二   九五0六    一九三八  九一六六   一六六八   八三三二
 三   九三七二    二三四六  九一一九   一七六二   八二三八
 四   九一八三    二九二二  九0五三   一八九四   八一0六
 五   八九四0    三六六0  八九六八   二0六四   七九三六
 六   八六四二    四五五四  八八六四   二二七二   七七二八
 七   八二九一    五六一六  八七四二   二五一六   七四八四
 八   七八八四    六八四0  八六00   二八00   七二00
十度十分 十度十分十秒 百十度十分十秒 刻十分十秒 十刻十分十秒 十刻十分十秒
 九   七四二二    八二二六  八四三九   三一二二   六八七八
一0   六九0六    九七八0  八二六0   三四八0   六五二0
一一   六三三三 三三八一四九0  八0六一   三八七八   六一二二
一二   五七0五    三三五六  七八四三   四三一四   五六八六
一三   五0二一    五三七八  七六0六   四七八八   五二一二
一四   四二八0    七五六八  七三五0   五三00   四七00
一五   三四八三    九九二0  七0七六   五八四八   四一五二
一六   二六二八 三三九二四00  六七八二   六四三六   三五六四
一七   一七一八    五0六八  六四六八   七0六四   二九三六
一八   0七四九    七八六四  六一三八   七七二四   二二七六
一九 一八九七二三 三四00八一0  五七八七   八四二六   一五七四
二0   八六三八    三九一二  五四一八   九一六四   0八三六
二一   七四九六    七一五二  五0三0   九九四0   00六0
二二   六二九四 三四一0五三六  四六二三 三九0七五四 六0九二四六
二三   五0三四    四0五二  四一九七   一六0六   八三九四
二四   三七一六    七七一二  三七五四   二四九二   七五0八
二五   二三三九 三四二一四九二  三二九二   三四一六   六五八四
二六   0九0三    五四0四  二八一二   四三七六   五六二四
二七 一七九四0八    九四三六  二三一四   五三七二   四六二八
二八   七八五四 三四三三五九四  一七九八   六四0四   三五九六
二九   六二四二    七九八0  一二六三   七四七四   二五二六
三0   四五七二 三四四二二三四  0七一四   八五七二   一四二八
三一   二八四二    六七一六  0一七四   九七0六   0二九四
十度十分 十度十分十秒 百十度十分十秒 刻十分十秒 十刻十分十秒 十刻十分十秒
三二   一0五五 三四五一二九四 四九五六二 四00八七六 五九九一二四
三三 一六九二一0    五九五六  八九六一   二0七八   七九二二
三四   七三0九 三四六0七0八  八三四五   三三一0   六六九0
三五   五三五0    五五三八  七七一二   四五七六   五四二四
三六   三三三五 三四七0四四0  七0六四   五八七二   四一二八
三七   二二六四    五四一四  六四0一   七一九八   二八0二
三八 一五九一三九 三四八0四四二  五七二三   八五五四   一四四六
三九   六九五九    五五一八  五0三一   九九三八   00六二
四0   四七二六 三四九0六四二  四三二六 四一一三四八 五八八六五二
四一   二四四二    五八0二  三六0七   二七八六   七二一四
四二   0一0七 三五00九八六  二八七五   四二五0   五七五0
四三 一四七七二0    六一九四  二一三一   五七三八   四二六二
四四   五二八五 三五一一四一四  一三七五   七二五0   二七五0
四五   二八0三    六六四0  0六0七   八七八六   一二一四
四六   0二七四 三五二一八六六 三九八二九 四二0三四二 五七九六五八
四七 一三七七00    七0八0  九0四0   一九二0   八0八0
四八   五0八二 三五三二二七0  八二四0   三五一六   六四八四
四九   二四二一    七四四二  七四三四   五一三二   四八六八
五0 一二九七二0 三五四二五七八  六六一七   六七六六   三二三四
五一   六九七七    七六七二  五七九一   八四一八   一五八二
五二   四一九九 三五五二七一八  四九五九 四三00八二 五六九九一八
五三   一三八八    七七一0  四一一九   一七六二   八二三八
五四 一一八五三九 三五六二六三六  三二七三   三四五四   六五四六
十度十分 十度十分十秒 百十度十分十秒 刻十分十秒 十刻十分十秒 十刻十分十秒
五五   五六五七    七五0二  二四一九   五一六二   四八三八
五六   二七四三 三五七二二八四  一五六0   六八八0   三一二0
五七 一0九八00    六九九四  0六九六   八六0八   一三九二
五八   六八二八 三五八一六0二 二九八二七 四四0三四六 五五九六五四
五九   三八二九    六一三二  八九五二   二0九六   七九0四
六0   0八0五 三五九0五六0  八0七四   三八五二   六一四八
六一 九七七五八    四八八六  七一九三   五六一四   四三八六
六二   四六八九    九一0四  六三0九   七三八二   二六一八
六三   一五九七 三六0三二0八  五四二0   九一六0   0八四0
六四 八八四八七    七一九二  四五三0 四五0九四0 五四九0六0
六五   五三六0 三六一一00八  三六三八   二七二四   七二七六
六六   二二一五    四八一二  二七四四   四五一二   五四八八
六七 七九0五四    八四二四  一八四七   六三0六   三六九四
六八   五八八二 三六二一九0四  0九五0   八一00   一九00
六九   二六九五    五二六四  00五二   九八九六   0一0四
七0 六九四九四    八四八六 一九一五一 四六一六九六 五三八三0四
七一   六二八五 三六三一五七0  八二五二   三四九六   六五0四
七二   三0六五    四五一六  七三五一   五二九八   四七0二
七三 五九八三七    七三一八  六四五0   七一00   二九00
七四   六六00    九九八二  五五四九   八九0二   一0九八
七五   三三五七 三六四二四九六  四六四八 四七0七0四 五二九二九六
七六   0一0八    四八七0  三七四七   二五0六   七四九四
七七 四六八五四    七0八六   八四六   四三0八   五六九二
十度十分 十度十分十秒 百十度十分十秒 刻十分十秒 十刻十分十秒 十刻十分十秒
七八   三五九四    九一五六  一九四六   六一0八   三八九二
七九   0三三一 三六五一0八二  一0四六   七九0八   二0九二
八0 三七0六四    二八六四   一四六   九七0八   0二九二
八一   三七九四    四四九0 0九二四六 四八一五0八 五一八四九二
八二   0五七八    五九六六  八三四六   三三0八   六六九二
八三 二七二四九    七二九二   四四九   五一0二   四八九八
八四   三九七三    八四七四  六五五二   六八九六   三一0四
八五   0六九六    九五00  五六五五   八六九0   一三一0
八六 一七六一八 三六六0三七0   四七五八 四九0四八四 五0九五一六
八七   四一四0    一一0八  三八六二   二二七六   七七二四
八八   0八六二    一六七八  二九六六   四0六八   五九三二
八九 0七五八二    二0九八  二0七0   五八六0   四一四0
九0   四三0三    二三七四  一一七四   七六五二   二三四八
九一   一0二四    二四九四  0二七九   九四四二   0五五八
九一三一   0000 三六六二五00  0000 五00000 五00000

右曆草所載晝夜刻分,乃大都(卽燕京)晷漏也。夏晝、冬夜極長,六十一刻八十四分,冬晝、夏夜極短,三十八刻一十六分。明旣遷都於燕,不知遵用。惟正統己巳奏准頒曆用六十一刻,而群然非之。景泰初仍復用南京晷刻,終明之世未能改正也。

二至出入差圓(圖闕)